已知f(x)=x^2+ax+b,求证|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,中至少有一个不小于1/2

反证法：
假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1/2

f(1)=1+a+b
f(2)=4+2a+b
f(3)=9+3a+b

|f(1)|<1/2,|f(2)|<1/2,|f(3)|<1/2
所以f(1),f(2),f(3)的范围都是(－1/2，1/2)
所以-2<f(3)+f(1)-2f(2)<2

但是f(3)+f(1)-2f(2)=2与小于2矛盾

所以|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|,中至少有一个不小于1/2

注意到f(1)=1+a+b, f(2)=4+2a+b, f(3)=9+3a+b
所以f(1)+f(3)-2f(2)=2
根据绝对值不等式的性质可知
2=|f(1)+f(3)-2f(2)| ≤ |f(1)|+|f(3)|+2|f(2)| < 1/2+1/2+2*1/2 = 2
所以2<2,矛盾
所以假设不成立，故原命题得证！